3.1231 \(\int (a+b \tan (e+f x)) \sqrt{c+d \tan (e+f x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=122 \[ -\frac{(b+i a) \sqrt{c-i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c-i d}}\right )}{f}+\frac{(-b+i a) \sqrt{c+i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c+i d}}\right )}{f}+\frac{2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f} \]

[Out]

-(((I*a + b)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*Sqrt[c + I*d]*ArcT
anh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.218209, antiderivative size = 122, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 5, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {3528, 3539, 3537, 63, 208} \[ -\frac{(b+i a) \sqrt{c-i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c-i d}}\right )}{f}+\frac{(-b+i a) \sqrt{c+i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c+i d}}\right )}{f}+\frac{2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]],x]

[Out]

-(((I*a + b)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/f) + ((I*a - b)*Sqrt[c + I*d]*ArcT
anh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/f + (2*b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f

Rule 3528

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[(d
*(a + b*Tan[e + f*x])^m)/(f*m), x] + Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 1)*Simp[a*c - b*d + (b*c + a*d)*Tan[e + f*x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && GtQ[m, 0]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rubi steps

\begin{align*} \int (a+b \tan (e+f x)) \sqrt{c+d \tan (e+f x)} \, dx &=\frac{2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f}+\int \frac{a c-b d+(b c+a d) \tan (e+f x)}{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}} \, dx\\ &=\frac{2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f}+\frac{1}{2} ((a-i b) (c-i d)) \int \frac{1+i \tan (e+f x)}{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}} \, dx+\frac{1}{2} ((a+i b) (c+i d)) \int \frac{1-i \tan (e+f x)}{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}} \, dx\\ &=\frac{2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f}+\frac{(i (a-i b) (c-i d)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{c-i d x}} \, dx,x,i \tan (e+f x)\right )}{2 f}-\frac{((i a-b) (c+i d)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{c+i d x}} \, dx,x,-i \tan (e+f x)\right )}{2 f}\\ &=\frac{2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f}-\frac{((a-i b) (c-i d)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-\frac{i c}{d}+\frac{i x^2}{d}} \, dx,x,\sqrt{c+d \tan (e+f x)}\right )}{d f}-\frac{((a+i b) (c+i d)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+\frac{i c}{d}-\frac{i x^2}{d}} \, dx,x,\sqrt{c+d \tan (e+f x)}\right )}{d f}\\ &=-\frac{(i a+b) \sqrt{c-i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c-i d}}\right )}{f}+\frac{(i a-b) \sqrt{c+i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c+i d}}\right )}{f}+\frac{2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.133549, size = 120, normalized size = 0.98 \[ \frac{-i (a-i b) \sqrt{c-i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c-i d}}\right )+i (a+i b) \sqrt{c+i d} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt{c+i d}}\right )+2 b \sqrt{c+d \tan (e+f x)}}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Tan[e + f*x])*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]],x]

[Out]

((-I)*(a - I*b)*Sqrt[c - I*d]*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]] + I*(a + I*b)*Sqrt[c + I*d]*ArcT
anh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]] + 2*b*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/f

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.042, size = 968, normalized size = 7.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(a+b*tan(f*x+e)),x)

[Out]

2*b*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)/f+1/4/f/d*ln((c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)-d*tan(f*x+e)-c-(c
^2+d^2)^(1/2))*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)*(c^2+d^2)^(1/2)*a-1/4/f/d*ln((c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(2*(c^2+d^2)^
(1/2)+2*c)^(1/2)-d*tan(f*x+e)-c-(c^2+d^2)^(1/2))*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)*a*c+1/4/f*ln((c+d*tan(f*x+e))^(
1/2)*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)-d*tan(f*x+e)-c-(c^2+d^2)^(1/2))*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)*b-1/f*d/(2*(c
^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2)*arctan(((2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)-2*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2))/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*
c)^(1/2))*a+1/f/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2)*arctan(((2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)-2*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2))/
(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2))*(c^2+d^2)^(1/2)*b-1/f/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2)*arctan(((2*(c^2+d^2)^(1/2)+
2*c)^(1/2)-2*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2))/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2))*b*c-1/4/f/d*ln(d*tan(f*x+e)+c+(c+d*tan(f*x
+e))^(1/2)*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)+(c^2+d^2)^(1/2))*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)*(c^2+d^2)^(1/2)*a+1/4/
f/d*ln(d*tan(f*x+e)+c+(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)+(c^2+d^2)^(1/2))*(2*(c^2+d^2)^(1/2)
+2*c)^(1/2)*a*c-1/4/f*ln(d*tan(f*x+e)+c+(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)+(c^2+d^2)^(1/2))*
(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2)*b+1/f*d/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2)*arctan((2*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)+(2*(c^2+d
^2)^(1/2)+2*c)^(1/2))/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2))*a-1/f/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2)*arctan((2*(c+d*tan(f*
x+e))^(1/2)+(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2))/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2))*(c^2+d^2)^(1/2)*b+1/f/(2*(c^2+d^2)^(
1/2)-2*c)^(1/2)*arctan((2*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)+(2*(c^2+d^2)^(1/2)+2*c)^(1/2))/(2*(c^2+d^2)^(1/2)-2*c)^(1/2))
*b*c

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(a+b*tan(f*x+e)),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 77.7575, size = 17595, normalized size = 144.22 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(a+b*tan(f*x+e)),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(4*sqrt(2)*f^5*sqrt(-((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 +
b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3
)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^
2)/f^4)*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(3/4)*arctan(((2*(a^7*b + 3*a^5*b^3
+ 3*a^3*b^5 + a*b^7)*c^3 + (a^8 + 2*a^6*b^2 - 2*a^2*b^6 - b^8)*c^2*d + 2*(a^7*b + 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5 + a*b^
7)*c*d^2 + (a^8 + 2*a^6*b^2 - 2*a^2*b^6 - b^8)*d^3)*f^4*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2
*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) + (2*(a^9*b +
4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^4 + (a^10 + 3*a^8*b^2 + 2*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6 - 3*a^2*b^8 - b^10)
*c^3*d + 2*(a^9*b + 4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^2*d^2 + (a^10 + 3*a^8*b^2 + 2*a^6*b^4 - 2*a^4
*b^6 - 3*a^2*b^8 - b^10)*c*d^3)*f^2*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)
/f^4) + sqrt(2)*((2*(a^3*b^2 + a*b^4)*c + (a^4*b - b^5)*d)*f^7*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (
a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) + (2*(a
^5*b^2 + 2*a^3*b^4 + a*b^6)*c^2 + (3*a^6*b + 5*a^4*b^3 + a^2*b^5 - b^7)*c*d + (a^7 + a^5*b^2 - a^3*b^4 - a*b^6
)*d^2)*f^5*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4))*sqrt(-((2*a*b*d -
(a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 +
b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))
*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*
d^2)/f^4)^(3/4) + sqrt(2)*(b*f^7*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^
4)*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) + ((a^2*b + b^3)*c + (a^3 + a*b^2)*d)
*f^5*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4))*sqrt(-((2*a*b*d - (a^2 -
b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c
^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))*sqrt(
((4*(a^4*b^2 + a^2*b^4)*c^4 + 4*(a^5*b - a*b^5)*c^3*d + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 + 4*(a^5*b
- a*b^5)*c*d^3 + (a^6 - a^4*b^2 - a^2*b^4 + b^6)*d^4)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^
2 + b^4)*d^2)/f^4)*cos(f*x + e) + sqrt(2)*((4*a^2*b^3*c^3 + 4*(2*a^3*b^2 - a*b^4)*c^2*d + (5*a^4*b - 6*a^2*b^3
+ b^5)*c*d^2 + (a^5 - 2*a^3*b^2 + a*b^4)*d^3)*f^3*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)
*d^2)/f^4)*cos(f*x + e) + (4*(a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^4 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c^3*d + (a^6*b + 3*a^4*b^3 + 3*a^2*
b^5 + b^7)*c^2*d^2 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c*d^3 + (a^6*b - a^4*b^3 - a^2*b^5 + b^7)*d^4)*f*cos(f*x + e))*sqrt(-
((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 +
2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2
+ b^4)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2
*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(1/4) + (4*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^5 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c
^4*d + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^3*d^2 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c^2*d^3
+ (a^8 - 2*a^4*b^4 + b^8)*c*d^4)*cos(f*x + e) + (4*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^4*d + 4*(a^7*b + a^5*b^3
- a^3*b^5 - a*b^7)*c^3*d^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2*d^3 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a
^3*b^5 - a*b^7)*c*d^4 + (a^8 - 2*a^4*b^4 + b^8)*d^5)*sin(f*x + e))/((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)))*(((a^4 + 2*a^2*
b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(3/4))/(4*(a^10*b^2 + 4*a^8*b^4 + 6*a^6*b^6 + 4*a^4*b^8 + a
^2*b^10)*c^4*d + 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*c^3*d^2 + (a^12 + 6*a^10*
b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*c^2*d^3 + 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 -
2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*c*d^4 + (a^12 + 2*a^10*b^2 - a^8*b^4 - 4*a^6*b^6 - a^4*b^8 + 2*a^2*b^10 + b^12
)*d^5)) + 4*sqrt(2)*f^5*sqrt(-((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*
b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b -
a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^
4)*d^2)/f^4)*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(3/4)*arctan(-((2*(a^7*b + 3*a^
5*b^3 + 3*a^3*b^5 + a*b^7)*c^3 + (a^8 + 2*a^6*b^2 - 2*a^2*b^6 - b^8)*c^2*d + 2*(a^7*b + 3*a^5*b^3 + 3*a^3*b^5
+ a*b^7)*c*d^2 + (a^8 + 2*a^6*b^2 - 2*a^2*b^6 - b^8)*d^3)*f^4*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a
^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) + (2*(a^
9*b + 4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^4 + (a^10 + 3*a^8*b^2 + 2*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6 - 3*a^2*b^8 -
b^10)*c^3*d + 2*(a^9*b + 4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^2*d^2 + (a^10 + 3*a^8*b^2 + 2*a^6*b^4 -
2*a^4*b^6 - 3*a^2*b^8 - b^10)*c*d^3)*f^2*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4
)*d^2)/f^4) - sqrt(2)*((2*(a^3*b^2 + a*b^4)*c + (a^4*b - b^5)*d)*f^7*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c
*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) +
(2*(a^5*b^2 + 2*a^3*b^4 + a*b^6)*c^2 + (3*a^6*b + 5*a^4*b^3 + a^2*b^5 - b^7)*c*d + (a^7 + a^5*b^2 - a^3*b^4 -
a*b^6)*d^2)*f^5*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4))*sqrt(-((2*a*
b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*
b^2 + b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)
*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 +
b^4)*d^2)/f^4)^(3/4) - sqrt(2)*(b*f^7*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d
^2)/f^4)*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) + ((a^2*b + b^3)*c + (a^3 + a*b
^2)*d)*f^5*sqrt((4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4))*sqrt(-((2*a*b*d -
(a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 +
b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))
*sqrt(((4*(a^4*b^2 + a^2*b^4)*c^4 + 4*(a^5*b - a*b^5)*c^3*d + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 + 4*
(a^5*b - a*b^5)*c*d^3 + (a^6 - a^4*b^2 - a^2*b^4 + b^6)*d^4)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*
a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)*cos(f*x + e) - sqrt(2)*((4*a^2*b^3*c^3 + 4*(2*a^3*b^2 - a*b^4)*c^2*d + (5*a^4*b - 6*a
^2*b^3 + b^5)*c*d^2 + (a^5 - 2*a^3*b^2 + a*b^4)*d^3)*f^3*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2
+ b^4)*d^2)/f^4)*cos(f*x + e) + (4*(a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^4 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c^3*d + (a^6*b + 3*a^4*b^3 +
3*a^2*b^5 + b^7)*c^2*d^2 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c*d^3 + (a^6*b - a^4*b^3 - a^2*b^5 + b^7)*d^4)*f*cos(f*x + e))*
sqrt(-((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (
a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^
2*b^2 + b^4)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 +
2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(1/4) + (4*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^5 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*
b^7)*c^4*d + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^3*d^2 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c
^2*d^3 + (a^8 - 2*a^4*b^4 + b^8)*c*d^4)*cos(f*x + e) + (4*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^4*d + 4*(a^7*b + a
^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c^3*d^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2*d^3 + 4*(a^7*b + a^5*b
^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c*d^4 + (a^8 - 2*a^4*b^4 + b^8)*d^5)*sin(f*x + e))/((c^2 + d^2)*cos(f*x + e)))*(((a^4 +
2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(3/4))/(4*(a^10*b^2 + 4*a^8*b^4 + 6*a^6*b^6 + 4*a^4*b
^8 + a^2*b^10)*c^4*d + 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*c^3*d^2 + (a^12 + 6
*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*c^2*d^3 + 4*(a^11*b + 3*a^9*b^3 + 2*a^7*
b^5 - 2*a^5*b^7 - 3*a^3*b^9 - a*b^11)*c*d^4 + (a^12 + 2*a^10*b^2 - a^8*b^4 - 4*a^6*b^6 - a^4*b^8 + 2*a^2*b^10
+ b^12)*d^5)) - sqrt(2)*((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^3*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 +
b^4)*d^2)/f^4) + ((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)*f)*sqrt(-((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*
c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - (
a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))*(((a^4 + 2*
a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(1/4)*log(((4*(a^4*b^2 + a^2*b^4)*c^4 + 4*(a^5*b - a*b^
5)*c^3*d + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 + 4*(a^5*b - a*b^5)*c*d^3 + (a^6 - a^4*b^2 - a^2*b^4 +
b^6)*d^4)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)*cos(f*x + e) + sqrt(2)*((4
*a^2*b^3*c^3 + 4*(2*a^3*b^2 - a*b^4)*c^2*d + (5*a^4*b - 6*a^2*b^3 + b^5)*c*d^2 + (a^5 - 2*a^3*b^2 + a*b^4)*d^3
)*f^3*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)*cos(f*x + e) + (4*(a^4*b^3 + a^2*b
^5)*c^4 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c^3*d + (a^6*b + 3*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7)*c^2*d^2 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c*d^
3 + (a^6*b - a^4*b^3 - a^2*b^5 + b^7)*d^4)*f*cos(f*x + e))*sqrt(-((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2
*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4
)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x
+ e))/cos(f*x + e))*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(1/4) + (4*(a^6*b^2 + 2
*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^5 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c^4*d + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b
^6 + b^8)*c^3*d^2 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c^2*d^3 + (a^8 - 2*a^4*b^4 + b^8)*c*d^4)*cos(f*x + e
) + (4*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^4*d + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c^3*d^2 + (a^8 + 4*a^6*b^
2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2*d^3 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c*d^4 + (a^8 - 2*a^4*b^4 + b^
8)*d^5)*sin(f*x + e))/((c^2 + d^2)*cos(f*x + e))) + sqrt(2)*((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^3*sqrt(((a^4 + 2*a^2*
b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) + ((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^
2)*f)*sqrt(-((2*a*b*d - (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^
4) - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4
- 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2))*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4)^(1/4)*log(((4*(a^4*
b^2 + a^2*b^4)*c^4 + 4*(a^5*b - a*b^5)*c^3*d + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*c^2*d^2 + 4*(a^5*b - a*b^5)
*c*d^3 + (a^6 - a^4*b^2 - a^2*b^4 + b^6)*d^4)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*
d^2)/f^4)*cos(f*x + e) - sqrt(2)*((4*a^2*b^3*c^3 + 4*(2*a^3*b^2 - a*b^4)*c^2*d + (5*a^4*b - 6*a^2*b^3 + b^5)*c
*d^2 + (a^5 - 2*a^3*b^2 + a*b^4)*d^3)*f^3*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4
)*cos(f*x + e) + (4*(a^4*b^3 + a^2*b^5)*c^4 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c^3*d + (a^6*b + 3*a^4*b^3 + 3*a^2*b^5 + b^7
)*c^2*d^2 + 4*(a^5*b^2 - a*b^6)*c*d^3 + (a^6*b - a^4*b^3 - a^2*b^5 + b^7)*d^4)*f*cos(f*x + e))*sqrt(-((2*a*b*d
- (a^2 - b^2)*c)*f^2*sqrt(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/f^4) - (a^4 + 2*a^2*b^2
+ b^4)*c^2 - (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)/(4*a^2*b^2*c^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c*d + (a^4 - 2*a^2*b^2 + b^4)*d^
2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*(((a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^
4)*d^2)/f^4)^(1/4) + (4*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^5 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c^4*d + (a
^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^3*d^2 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 - a*b^7)*c^2*d^3 + (a^8 -
2*a^4*b^4 + b^8)*c*d^4)*cos(f*x + e) + (4*(a^6*b^2 + 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^4*d + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^
5 - a*b^7)*c^3*d^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2*d^3 + 4*(a^7*b + a^5*b^3 - a^3*b^5 -
a*b^7)*c*d^4 + (a^8 - 2*a^4*b^4 + b^8)*d^5)*sin(f*x + e))/((c^2 + d^2)*cos(f*x + e))) + 8*((a^4*b + 2*a^2*b^3
+ b^5)*c^2 + (a^4*b + 2*a^2*b^3 + b^5)*d^2)*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e)))/(((a^4 + 2*a
^2*b^2 + b^4)*c^2 + (a^4 + 2*a^2*b^2 + b^4)*d^2)*f)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (a + b \tan{\left (e + f x \right )}\right ) \sqrt{c + d \tan{\left (e + f x \right )}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))**(1/2)*(a+b*tan(f*x+e)),x)

[Out]

Integral((a + b*tan(e + f*x))*sqrt(c + d*tan(e + f*x)), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )} \sqrt{d \tan \left (f x + e\right ) + c}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((c+d*tan(f*x+e))^(1/2)*(a+b*tan(f*x+e)),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*tan(f*x + e) + a)*sqrt(d*tan(f*x + e) + c), x)